왜 자연로그는 비율(%)변화를 나타낼 수 있는가

자연 로그의 성질 중 다음과 같은 성질이 있다.

(x가 0에 가깝게 작을때 위가 성립, 물결무늬는 거의 같다라는 의미. 근사치.)

자연로그든 밑이 어떤 로그든 로그곡선은 (1,0)을 지나간다.

그런데 자연로그의 특성은 (1,0)을 지날때의 기울기가 1이라는 점이다.

물론 기울기는 x가 더 커지면 1 이하로 낮아진다.

1부근에서 기울기가 1이라는 아래와 같은 특성으로 인해 위와 같은 성질을 같는다.

(desmos.com 사이트에 들어가서 자연로그 그래프를 그려볼 수 있습니다)

그리고 로그는 아래와 같은 일반적 특징을 같는다.

이 특성을 순간변화량(순간기울기)에 적용해보자.

(x0이 x1으로 이동할때의 변화량(비율)은 이다.

만약 x0이 100이고 x1이 101이라면 x1/x0은 1.01이 된다.

위에서 보았듯이 log(1.01) ≈ 0.01이다.   여기다 100을 곱해주면 변화량의 %가 된다.  (여기서 log는 자연로그)

그러므로 log(x1) - log(x0)의 값에 100을 곱해주면  x0이 x1으로 변화할때의 %를 의미하게 되는 것이다.

그런데 여기서 퍼센트 변화가 커질수록 그 정확성은 떨어지게 된다. 왜냐하면 로그 곡선은 x가 1보다 많이 커지면 기울기가 1보다 많이 떨어지기 때문이다.

정리하자면 이는 자연로그의 곡선이 (1,0)을 지날때의 기울기가 1인 특성, 그리고  과 같은 특성을 이용하는 것이다.

위의 식을 아래와 같이 표현할 수 있다.

그러므로 에서 는 탄력성(x의 %변화 대비 y의 %변화)을 의미하게 된다.

여기서 는 x에 대한 y의 탄력성이다.  (위의 식은 고정적인 탄력성을 가정하는-선형- 모델이다.)

아래는 종속변수에만 로그를 씌운 경우다. (semi-elasticity)

여기서 정확히 9.4%가 아니라 약 9.4임에 유의해야 한다.

이번엔 독립변수에만 로그가 들어간 경우다.

여기서도 정확히가 아니라 약이다. 너무 높은 %로 해석하려하면 오차가 커진다. 울드리지도 10% 이상 해석하는 것은 무리가 있다고 한다.

실재로 2배의 값을 로그해보면 안다.

아래에서 보듯, 10% 차이는 9.5%로 나오고, 20% 차이는 18% 정도로 나와서 정확한게 아니다. 그 차이는 50%로 가면 40%로 나올정도로 오차가 커지기 때문에 10%정도만 약으로 적용하라고 하는 것이다.

(참조 : 울드리지 계량경제학, desmos.com)

키워드 : 회귀분석, 로그, 자연로그, 비율, %, 탄력성, 계량경제학